2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第三部分第4讲　解析几何答案

第4讲解析几何■真题调研——————————————【例1】[2019·天津卷]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，ca＝55，又a2＝b2＋c2，可得a＝5，b＝2，c＝1.所以，椭圆的方程为x25＋y24＝1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得y＝kx＋2，x25＋y24＝1，整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－20k4＋5k2，代入y＝kx＋2得yP＝8－10k24＋5k2，进而直线OP的斜率yPxP＝4－5k2－10k.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－2k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k2－10k·－k2＝－1，化简得k2＝245，从而k＝±2305.