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2020新高考数学(理)二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习:函数与导数+考点过关检测三十八解析

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考点过关检测(三十八)1.(2019·株洲检测)设函数f(x)=ex-ax+a,其中a为常数,f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.(1)求a的取值范围;(2)设x0=x1x2,证明:f′(x0)<0.解:(1)f′(x)=ex-a.①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在R上单调递增,f(x)的图象与x轴最多有一个交点,与题意矛盾.②若a>0,令f′(x)=0,得x=lna,易得f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,则f(x)min=f(lna)=a(2-lna),又函数f(x)的图象与x轴有两个交点,则a(2-lna)<0,解得a>e2,又f(1)=e>0,f(lna)<0,当x→+∞时,f(x)>0,故a∈(e2,+∞)满足题意.综上,a的取值范围为(e2,+∞).(2)证明:由(1)知1<x1<lna<x2,由题意可得ex1-ax1+a=0,ex2-ax2+a=0,解得a=ex2-ex1x2-x1,所以f′(x0)=ex1x2-ex2-ex1x2-x1,要证f′(x0)<0,只需证ex2-ex1x2-x1>ex1x2.下面证明ex2-ex1x2-x1>ex1+x22,即证ex2-x12-ex1-x22x2-x1>1.(*)

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