2020版高考数学二轮复习专题提分教程高难拉分攻坚特训四理

高难拉分攻坚特训(四) 1．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且 Sn＝1350.若 a2<2，则 n 的最大值为 ( ) A．51 B．52 C．53 答案 A 解析 因为 an＋1＋an＝2n＋1 ①， D．54 所以 an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3 ②， ②－①得 an＋2－an＝2，且 a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1， 所以数列{an}的奇数项构成以 a1 为首项，2 为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以 a2 为首项，2 为公差的等差数列， 数列{a2n－1＋a2n}是以 4 为公差的等差数列， ?n?n＋1?＋?a1－1?，n为奇数， ?2 所以 Sn＝? n?n＋1? ? ? 2 ，n为偶数. 当 n 为偶数时， n?n＋1? 2 ＝1350，无解(因为 50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不 会有相邻两数之积为 2700)．当 n 为奇数时， n?n＋1? 2 2 ＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－ n?n＋1? 2 *, ， 因为 a2<2， 所以 3－a1<2， 所以 a1>1， 所以 1351－ ＝2652，所以 n≤51，故选 A. n?n＋1? >1， 所以 n(n＋1)<2700， n∈N 51×52 又 2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为 2 的球的内接正四棱锥的体积最大值为________． 答案 解析 512 81 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥 2 a， 2 的高上，如图所示，其中球的球心为 E 点，设 BC＝a，则 BO＝ 在 Rt△EOB 中，则有 EO ＋OB ＝EB ，故 EO＝ 2 2 2 4－ ，正四棱锥的高为 2＋ 2 a2 4－ ， 2 -1- a2 1 ? 2 正四棱锥的体积为 V＝ ×a ×?2＋ 3 ? 4－ ?，令 x＝ 2? a2? 1 4－ ，x∈(0,2)，则 V(x)＝ ×(8 2 3 a2 1 1 2 3 2 2 －2x )×(2＋x)，即 V(x)＝ ×(－2x －4x ＋8x＋16)，对 V(x)求导得，V′(x)＝ ×(－6x － 3 3 2 ? 2? 2