2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系学案含解析新人教A版选修2-1

-1-3.2.23.2.2空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系[目标]1.理解线面的位置关系与向量的联系.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系．[重点]用向量的方法解决线线、线面、面面的垂直关系．[难点]用线面垂直的判定定理与向量相结合解决垂直问题．知识点空间中直线、平面垂直关系的向量表示[填一填]1．两直线垂直的关系：设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.2．直线与平面的垂直关系：设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku.3．两个平面的垂直关系：若平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.[答一答]1．直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．2．若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1．线线垂直设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只需证明a⊥b，即a·b＝0.2．线面垂直(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u.(2)根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：设a、b在平面α内(或与平面α平行)，且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α⇔c⊥a且c⊥b⇔a·c＝b·c＝0.3．面面垂直(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．(2)证明两个平面的法向量互相垂直．类型一利用空间向量证明线线垂直【例1】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.