2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训六理

中难提分突破特训(六) 1．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，且 3(b ＋c －a )＝ 4S. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，当 b＋2c 取得最大值时，求 cosB. 解 (1)由已知 3(b ＋c －a )＝4S＝2bcsinA， 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得 2 3bccosA＝2bcsinA，所以 tanA＝ 3， π 因为 A∈(0，π)，故 A＝ . 3 3 b c (2)由正弦定理得 ＝ ＝ ， π sinB sinC sin 3 即 b＝2sinB，c＝2sinC， ? ? π?? 因此 b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2 ?sinB＋2sin?B＋ ?? ＝4sinB＋2 3cosB＝2 7sin(B＋ 3 ?? ? ? φ)， 3 3 21 ? π? 其中 φ∈?0， ?，tanφ＝ ，则 sinφ＝ ＝ ， 2? 2 7 ? 7 π π 故 b＋2c≤2 7，当且仅当 B＋φ＝ ，即 B＝ －φ 时取等号， 2 2 故此时 cosB＝sinφ＝ 21 . 7 2．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC，AA1＝AB，D 为 BB1 的中点． (1)若 E 为 AB1 上的一点，且 DE 与直线 CD 垂直，求 EB1 的值； AB1 (2)在(1)的条件下，设异面直线 AB1 与 CD 所成的角为 45°，求直线 DE 与平面 AB1C1 所成 角的正弦值． 解 (1)如图，取 AB 的中点 M，连接 CM，MD，有 MD∥AB1， -1- 因为 AC＝BC，所以 CM⊥AB， 又因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱， 所以平面 ABC⊥平面 ABB1A1， 又因为平面 ABC∩平面 ABB1A1＝AB， 所以 CM⊥平面 ABB1A1， 又因为 DE? 平面 ABB1A1， 所以 CM⊥DE， 又因为 DE⊥CD，CD∩CM＝C，CD? 平面 CMD，CM? 平面 CMD， 所以 DE⊥平面 CMD，又因为 MD? 平面 CMD， 所以 DE⊥MD， 因为 MD∥AB1，所以 DE⊥AB1， 连接 A1B，设 A1B∩AB1＝O，因为 ABB1A1 为正方形， 所以 A1B⊥AB1， 又因为 DE? 平面 AA1B1B，A1B? 平面