2020高考数学二轮复习规范解答集训六函数导数不等式文

规范解答集训(六) x 2 函数、导数、不等式 (建议用时：60 分钟) 1．(2019・洛阳模拟)已知函数 f(x)＝e (x －2x＋a)(其中 a∈R，a 为常数，e 为自然对 数的底数)． (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)设曲线 y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为 l，当 a∈[1,3]时，求直线 l 在 y 轴上截距的 取值范围． [解] (1)f′(x)＝e (x －2x＋a)＋e (2x－2)＝e (x ＋a－2)， 当 a≥2 时，f′(x)≥0 恒成立，函数 f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a<2 时，f′(x)≥0?x ≥2－a?x≤－ 2－a或 x≥ 2－a， 函数 f(x)在区间(－∞， 2－a)， 2－a， － ( ＋∞)上单调递增， 在区间(－ 2－a， 2－a) 上单调递减． (2)f(a)＝e (a －a)，f′(a)＝e (a ＋a－2)， 所以直线 l 的方程为 y－e (a －a)＝e (a ＋a－2)(x－a)． 令 x＝0，得截距 b＝e (－a ＋a)，记 g(a)＝e (－a ＋a)(1≤a≤3)， 则 g′(a)＝e (－a －3a ＋a＋1)，记 h(a)＝－a －3a ＋a＋1(1≤a≤3)， 则 h′(a)＝－3a －6a＋1<0(1≤a≤3)，所以 h(a)在[1,3]上单调递减， 所以 h(a)≤h(1)＝－2<0，所以 g′(a)<0，即 g(a)在区间[1,3]上单调递减， 所以 g(3)≤g(a)≤g(1)，即截距的取值范围是[－24e 0]． 2．(2019・武汉调研)已知 m∈R，函数 f(x)＝ln x＋2x －mx＋1，g(x)＝3x －2mx－(m －1)ln x＋1. (1)若 f(x)为增函数，求实数 m 的取值范围； (2)若 m0 为 g(x)≥f(x)恒成立时 m 取到的最大值， m＝m0 时曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切 求 线方程． 1 4x －mx＋1 2 [解] (1)令 f′(x)＝ ＋4x－m＝ ≥0(x>0)，得 4x －mx＋1≥0(x>0)． 2 2 2 2 3, 2 2 x 2 x x 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 2 3 2 x x ①若 m≤