2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训一理

中难提分突破特训(一) 2c－b cosB 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ＝ . a cosA (1)求角 A 的大小； (2)若 D 为 BC 边上一点，且 CD＝2DB，b＝3，AD＝ 21，求 a. 解 (1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB， 由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB， 整理，得 2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB， 即 2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC. 1 又 sinC≠0，所以 cosA＝ ， 2 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ π . 3 (2)如图，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E， π 又 CD＝2DB，∠BAC＝ ， 3 1 2π 所以 ED＝ AC＝1，∠DEA＝ . 3 3 由余弦定理可知， AD2＝AE2＋ED2－2AE・EDcos 解得 AE＝4，则 AB＝6. π 又 AC＝3，∠BAC＝ ， 3 2π ， 3 所以在△ABC 中，由余弦定理，得 a＝BC＝3 3. 2．已知长方形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 2.现将长方形沿对角线 BD 折起，使 AC＝a，得到 一个四面体 A－BCD，如图所示． (1)试问：在折叠的过程中，异面直线 AB 与 CD，AD 与 BC 能否垂直？若能垂直，求出相 -1- 应的 a 值；若不垂直，请说明理由； (2)当四面体 A－BCD 的体积最大时，求二面角 A－CD－B 的余弦值． 解 (1)若 AB⊥CD，由 AB⊥AD，AD∩CD＝D，得 AB⊥平面 ACD，所以 AB⊥AC. 所以 AB ＋a ＝BC ，即 1 ＋a ＝( 2) ，所以 a＝1. 若 AD⊥BC，由 AD⊥AB，AB∩BC＝B，得 2 2 2 2 2 2 AD⊥平面 ABC，所以 AD⊥AC， 所以 AD ＋a ＝CD ，即( 2) ＋a ＝1 ， 所以 a ＝－1，无解，故 AD⊥BC 不成立． (2)要使四面体 A－BCD 的体积最大， 因为△BCD 的面积为定值 2 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 所以只需三棱锥 A－BCD 的高最大即可， 此时平面 ABD⊥平面 BCD， 过点 A 作 AO⊥BD 于点 O，则 AO⊥平面 BCD， 以 O 为坐标原点