2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训三理

中难提分突破特训(三) 1．如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1. (1)证明：AB＝AC； (2)若 AB⊥AC，且 AB1＝BB1，求二面角 A1－CB1－C1 的余弦值． 解 (1)证明：如图，取 BC 的中点 O，连接 AO，OB1. 因为 BC＝BB1，∠B1BC＝60°， 所以△BCB1 是等边三角形， 所以 B1O⊥BC， 又 BC∥B1C1，B1C1⊥AB1， 所以 BC⊥AB1， 所以 BC⊥平面 AOB1， 所以 BC⊥AO，由三线合一可知△ABC 为等腰三角形， 所以 AB＝AC. (2)设 AB1＝BB1＝2，则 BC＝BB1＝2. 因为 AB⊥AC，所以 AO＝1. 又因为 OB1＝ 3， 所以 OB1＋AO ＝AB1，所以 AO⊥OB1. → 以 O 为坐标原点，向量OB的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， → → 则 O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1， 3，1)，B1(0， 3，0)，CA1＝(0， 3，1)，CB1＝(1， 3， 0)， 2 2 2 -1- 设平面 A1B1C 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， → ?CA1・n＝0， ? 则? → ?CB1・n＝0， ? 即? ? 3y＋z＝0， ?x＋ 3y＝0， 可取 n＝( 3，－1， 3)， → 由(1)可知，平面 CB1C1 的法向量可取OA＝(0,0,1)， → OA・n 21 → 所以 cos〈OA，n〉＝ ＝ ， → 7 |OA||n| 由图示可知，二面角 A1－CB1－C1 为锐二面角， 所以二面角 A1－CB1－C1 的余弦值为 21 . 7 ? π? 2．已知函数 f(x)＝2sinxsin?x＋ ?. 3? ? (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)锐角△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，角 A 的平分线交 BC 于 D，直线 x ＝A 是函数 f(x)图象的一条对称轴，AD＝ 2BD＝2，求边 a. 解 ? π? (1)∵f(x)＝2sinxsin?x＋ ?， 3? ? 1 3 ∴f(x)＝2sinxsinx・ ＋2sinxcosx・ 2 2 ＝ 1－cos2x 3 3 1 1 ＋ sin2x＝ sin2x