2020版高考数学大二轮复习第二部分专题7选修部分增分强化练四十四理

增分强化练(四十四) 1．(2019・南昌模拟)已知 a，b 为正实数，函数 f(x)＝|x－a|－|x＋2b|. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)若函数 f(x)的最大值为 1，求 a ＋4b 的最小值． 解析：(1)因为 f(x)≤|(x－a)－(x＋2b)|＝a＋2b， 所以函数 f(x)的最大值为 a＋2b. (2)由(1)可知，a＋2b＝1， 因为 a ＋4b ≥4ab， 所以 2(a ＋4b )≥a ＋4b ＋4ab＝(a＋2b) ， 所以 2(a ＋4b )≥(a＋2b) ＝1， 1 2 2 即 a ＋4b ≥ ， 2 1 且当 a＝2b＝ 时取“＝”， 2 1 2 2 所以 a ＋4b 的最小值为 . 2 2．(2019・大连模拟)已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|x＋a|. (1)当 a＝－1 时，求不等式 f(x)>2x 的解集； (2)当不等式 f(x)>1 的解集为 R 时，求实数 a 的取值范围． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?－2x，x<－1 ? 解析：(1)a＝－1 时，f(x)＝?2，－1≤x≤1 ?2x，x>1 ? 当 x<－1 时，－2x>2x，即 x<0，∴x<－1； 当－1≤x≤1 时，2>2x，即 x<1，∴－1≤x<1； 当 x>1 时，2x>2x，无解． 综上，f(x)>2x 的解集为(－∞，1)． (2)f(x)＝|x＋1|＋|x＋a|≥|a－1|， ， 当－a≤－1，即 a≥1 时， －a≤x≤－1 时等号成立；当－a>－1，即 a<1 时， －1≤x≤－a 时等号成立， 所以 f(x)的最小值为|a－1|， 即|a－1|>1， ∴a<0 或 a>2. 3．(2019・东三省四市模拟)已知 a，b，c，d 均为正实数． (1)求证：(a ＋b )(c ＋d )≥(ac＋bd) ； 2 2 2 2 2 -1- a b 1 (2)若 a＋b＝1，求证 ＋ ≥. 1＋a 1＋b 3 证明：(1)(a ＋b )(c ＋d )＝(a c ＋a d ＋b c ＋b d )≥(a c ＋2abcd＋b d )＝(ac＋bd) . 2 2 2 2 22 22 22 22 22 22 2 2 2 ? a ＋ b ?(1＋a＋1＋b)＝a2＋1＋ba2＋1＋ab2＋b2≥a2＋2ab＋b2＝