2020版高考数学大二轮复习第二部分专题6函数与导数增分强化练三十五文

增分强化练(三十五) 考点一 利用导数证明不等式 (2019・乌鲁木齐质检)已知函数 f(x)＝ln x＋ －x－2a＋1. (1)若 a＝－2，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)有两个极值点 x，x2，求证：f(x1)＋f(x2)<0. 2 解析：(1)当 a＝－2 时，f(x)＝ln x－ －x＋5， a x x －x ＋x＋2 －?x －x－2? －?x－2??x＋1? f′(x)＝ ＋ 2－1＝ ＝ ＝ ， 2 2 2 1 2 2 2 xx x x x 当 00，当 x>2 时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ?1－4a>0 2 ? 1a －x ＋x－a (2)证明： f′(x)＝ － 2－1＝ (x＞0)， f(x)有两个极值点 x1， 得?x1＋x2＝1 x2 2 xx x ?x1x2＝a ? ， 1 ∴0x1>0 时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数 m 的取值范围． 解析：(1)由 f(x)＝be ＋x 得，f′(x)＝be ＋1， 由题意得 f′(0)＝be ＋1＝a，即 b＋1＝a，又 f(0)＝b，∴－b＋1＝0， 解得 b＝1，a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝e ＋x， 2 f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)即为 f(x1)－mx2 1－x1x1>0 知，上式等价于函数 φ(x)＝f