2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何增分强化练三十二理

增分强化练(三十二) 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点 F 为抛物线 y ＝4x 的焦点，P，Q 是椭圆 C 上的两 个动点，且线段 PQ 长度的最大值为 4. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 OP⊥OQ，求△OPQ 面积的最小值． 解析：(1)∵y ＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆 C 的右焦点 F 为(1,0)，即 c＝1， 又|PQ|的最大值为 4，因此|PQ|＝2a＝4， ∴a ＝4，b ＝a －c ＝4－1＝3， 所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 43 1 (2)①当 P，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为 ×2× 3＝ 3， 2 ②当 P，Q 不是椭圆顶点时，设直线 OP 的方程为 y＝kx(k≠0)， 2 2 2 2 2 x2 y2 ab 2 x2 y2 ?y＝kx ? 由?x2 y2 ? 4 ＋ 3 ＝1 ? ，得 x ＝ 2 12 2 2，所以|OP|＝ k ＋1 3＋4k 12 2， 3＋4k 1 由 OP⊥OQ，得直线 OQ 的方程为：y＝－ x， k 所以|OQ|＝ 1 k 2 ＋1 12 3＋4 1 ＝ 1＋k 2 12 ， 2 3k ＋4 k2 ?k ＋1? 2 2 ?3＋4k ??3k ＋4? 2 2 1 所以 S△OPQ＝ |OP|・|OQ|＝6 2 ＝6 ?k ＋1? ＝6 2 12k ＋25k ＋12 2 2 4 2 1 12＋ 2 2 ?k ＋1? k2 ， ?k ＋1? 2 k2 1 2 2 ＝k ＋ 2＋2≥4，当且仅当 k ＝1 时等号成立， k 1 12 所以 0< 2 ≤S△OPQ< 3， 2≤ ，所以 ?k ＋1? 4 7 12 综上，△OPQ 面积的最小值为 . 7 k2 x2 y2 3 26 2． 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 ， F2 分别为椭圆 C 的左、 F1， 右焦点， P( 点 ， ab 2 3 -1- →→ 3 )满足PF1・PF2＝0. 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆相交于 M，N 两点，设 O 为坐标原点，直线 OM，直线 l， 直线 ON 的斜率分别为 k1，k，k2，且 k1，k，k2 成等比数列，求 k1・