2020秋高中数学第一章导数及其应用章末整合提升学案含解析新人教A版选修2-2

-1-第一章第一章章末整合提升章末整合提升网络构建·理脉络导数及其应用专题突破·启智能专题利用导数的几何意义解题导数的概念、运算及导数的几何意义等基础知识，是高考的必考内容，难度位于中低档．典例1设曲线y＝x3在x＝a(a≠0)处的切线为l.(1)求直线l的方程；(2)证明：直线l与曲线y＝x3恒有两个不同的公共点，且这两个公共点之间的距离不小于36a2.[思路分析](1)利用导数的几何意义解决．先求导数f′(x)＝3x2，则切线斜率为f′(a)＝3a2，再利用点斜式写出切线方程．(2)利用方程思想解决．将切线方程与曲线方程联立求出交点坐标A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，再利用两点间距离公式求出距离，观察结构，采用基本不等式证明结论成立．[解析](1)y′＝3x2，直线l的斜率为f′(a)＝3a2.故直线l的方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.(2)证明：由y＝x3，y＝3a2x－2a3，得x3－3a2x＋2a3＝0.即(x－a)2(x＋2a)＝0，解得x1＝a，x2＝－2a.因为a≠0，所以x1≠x2.所以直线l与曲线有两个不同的交点A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，则|AB|＝3a2＋9a32≥2·3a·9a3＝36a2，即这两个公共点之间的距离不小于36a2.『规律方法』如何求方程x3－3a2x＋2a3＝0的根是解决该题第二问的关键．事实上，x3－3a2x＋2a3＝0可化为(x3－a2x)－(2a2x－2a3)＝0，进而化为x(x2－a2)－2a2(x－a)＝0.然后通过分解因式解决．专题求函数的单调区间典例2设a∈R，讨论定义在(－∞，0)的函数f(x)＝13ax3＋(a＋12)x2＋(a＋1)x的单调性．